关于梯度下降法的一份介绍

无论是机器学习（ML）还是深度学习（ML）中，梯度下降法都是一种十分优秀有用的算法，可以用它来优化模型，最小化模型的损失函数。在这片文章中我将介绍这种优化算法，包括他的概念原理、具体实例以及python代码演示。

一、概念

梯度下降法（Gradient Descent）是一种用于求解函数最小值的迭代优化算法，广泛应用于机器学习和深度学习中以优化模型参数。其基本思想是通过沿负梯度方向不断调整输入变量，逐步逼近目标函数的局部最小值点。

简单来说就是，我们当我们想要寻找一个小球从山顶到山底最短的一条路径，我们可以先让这个小球自由滑落，此时滑落时这个滑落的方向就是目前最陡的山路，当小球滑落一段时间后，我们让小球暂停，然后再让其自由滑落，沿当前最陡的山路，我们不断重复这些步骤，最后小球会滑落到山脚，并且它滑落的路径会是所有路径中最短的路径。（参考书籍《ディープラーニングの数学》）

二、原理

在上述的概念中，我们现在要寻找的就是小球滑落时的最陡峭的方向，我们可以利用如下的公式来寻找这个方向，即：

$(\Delta x, \Delta y) = -\eta (\frac{\partial f(x,y)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y)}{\partial y})$

接着，让小球滑落的这个动作就是：

让实际所求的值从点 $(x,y)$ 向点 $(x+\Delta x,y+\Delta y)$ 移动。

而该向量 $(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y)}{\partial y})$ 称为函数 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的梯度。

那么，我们思考，为什么上述的公式会求得最陡峭的方向呢？

首先，有函数 $f(x,y)$ 的值的变化 $\Delta z$ 为：

$\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y)$

根据近似公式，得到：

$\Delta z = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\Delta y$

如果我们将之写为向量的格式，即可得到：

$(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}),(\Delta x,\Delta y)$

那么，已知向量 $\mathbf{b}$ 在满足如下的公式时取得内积 $\mathbf{a\cdot b}$ 最小值：

$b=-ka$

那么，就有 $(\Delta x, \Delta y) = -\eta (\frac{\partial f(x,y)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y)}{\partial y})$ 取得最小值。

此外，在式子中， $\eta$ 无法通过某个公式直接求得，而是需要通过许多的尝试才能得到最优的结果，而它也被称为学习率。

三、实例

假设有函数 $z=ax^2+by^2+cx$ ，且 $\Delta x$ ， $\Delta y$ 为微小的值，当x从α变到 $\alpha +\Delta x$ ，y从β变到 $\beta +\Delta y$ 时，求使这个函数减小到最快的向量 $(\Delta x,\Delta y)$ 。

解：先求的偏导数：

$\frac{\partial z}{\partial x}=2ax+c$ $\frac{\partial z}{\partial y}=2b$

且 $x=\alpha \;\;\;\;y=\beta$ ，于是有：

$(\Delta x,\Delta y)=-\eta (2a\alpha +c,2\beta )$

四、代码演示

将上述的过程用代码演示，并且假设其中的函数为： $f(x)=x^2$

那么，对应的python代码如下：

def f(x):
    return x ** 2


def df(x):
    """函数f(x) = x^2的导数"""
    return 2 * x


# 梯度下降函数
def gradient_descent(starting_point, learning_rate, num_iterations):
    x = starting_point

    for i in range(num_iterations):
        gradient = df(x)

        x -= learning_rate * gradient

        if i % 10 == 0:
            print(f"Iteration {i}: x = {x}, f(x) = {f(x)}, Gradient = {gradient}")

    return x

此上